Решить 8x^2-8x-1=0

$$8 x ^ { 2 } - 8 x - 1 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx 1,112372436$$

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}\approx -0,112372436$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 8 вместо a, -8 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Возведите -8 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 8\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-32\left(-1\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -32 на -1.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+32}}{2\times 8}$$

Прибавьте 64 к 32.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{96}}{2\times 8}$$

Извлеките квадратный корень из 96.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Число, противоположное -8, равно 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{2\times 8}$$

Умножьте 2 на 8.

$$x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 8 к 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+8}{16}$$

Разделите 8+4\sqrt{6} на 16.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{8±4\sqrt{6}}{16} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{6} из 8.

$$x=\frac{8-4\sqrt{6}}{16}$$

Разделите 8-4\sqrt{6} на 16.

$$x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-8x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$8x^{2}-8x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$8x^{2}-8x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$8x^{2}-8x=1$$

Разделите обе части на 8.

$$\frac{8x^{2}-8x}{8}=\frac{1}{8}$$

Деление на 8 аннулирует операцию умножения на 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{8}\right)x=\frac{1}{8}$$

Разделите -8 на 8.

$$x^{2}-x=\frac{1}{8}$$

Разделите -1, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{8} к \frac{1}{4}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$$

Разложите x^{2}-x+\frac{1}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{8}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{8}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$

Прибавьте \frac{1}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{1}{2}$$