Решить 8x^2-22x+15

$$8 x ^ { 2 } - 22 x + 15$$

Разложить на множители

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 8x^{2}+ax+bx+15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-22 ab=8\times 15=120$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -22.

$$a=-12 b=-10$$

Перепишите 8x^{2}-22x+15 как \left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(-10x+15\right)$$

Разложите 4x в первом и -5 в второй группе.

$$4x\left(2x-3\right)-5\left(2x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-22x+15=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Возведите -22 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 8\times 15}}{2\times 8}$$

Умножьте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-32\times 15}}{2\times 8}$$

Умножьте -32 на 15.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-480}}{2\times 8}$$

Прибавьте 484 к -480.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{4}}{2\times 8}$$

Извлеките квадратный корень из 4.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±2}{2\times 8}$$

Число, противоположное -22, равно 22.

$$x=\frac{22±2}{2\times 8}$$

Умножьте 2 на 8.

$$x=\frac{22±2}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{22±2}{16} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 22 к 2.

$$x=\frac{24}{16}$$

Привести дробь \frac{24}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{22±2}{16} при условии, что ± — минус. Вычтите 2 из 22.

$$x=\frac{20}{16}$$

Привести дробь \frac{20}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{5}{4}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{3}{2} вместо x_{1} и \frac{5}{4} вместо x_{2}.

$$8x^{2}-22x+15=8\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Вычтите \frac{3}{2} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\left(x-\frac{5}{4}\right)$$

Вычтите \frac{5}{4} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{2x-3}{2}\times \frac{4x-5}{4}$$

Умножьте \frac{2x-3}{2} на \frac{4x-5}{4}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$8x^{2}-22x+15=8\times \frac{\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)}{8}$$

Сократите наибольший общий делитель 8 в 8 и 8.

$$8x^{2}-22x+15=\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$

Вычислить

$$\left(2x-3\right)\left(4x-5\right)$$