Решить 8x^2+28x+12=0

$$8 x ^ { 2 } + 28 x + 12 = 0$$

Найдите x

$$x=-3$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 4.

$$2x^{2}+7x+3=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx+3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=2\times 3=6$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 6.

$$1,6 2,3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+6=7 2+3=5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=1 b=6$$

Перепишите 2x^{2}+7x+3 как \left(2x^{2}+x\right)+\left(6x+3\right).

$$\left(2x^{2}+x\right)+\left(6x+3\right)$$

Разложите x в первом и 3 в второй группе.

$$x\left(2x+1\right)+3\left(2x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x+1\right)\left(x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x+1=0 и x+3=0у.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$8x^{2}+28x+12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 8 вместо a, 28 вместо b и 12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

Возведите 28 в квадрат.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 8\times 12}}{2\times 8}$$

Умножьте -4 на 8.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-32\times 12}}{2\times 8}$$

Умножьте -32 на 12.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-384}}{2\times 8}$$

Прибавьте 784 к -384.

$$x=\frac{-28±\sqrt{400}}{2\times 8}$$

Извлеките квадратный корень из 400.

$$x=\frac{-28±20}{2\times 8}$$

Умножьте 2 на 8.

$$x=\frac{-28±20}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{-28±20}{16} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -28 к 20.

$$x=-\frac{8}{16}$$

Привести дробь \frac{-8}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-28±20}{16} при условии, что ± — минус. Вычтите 20 из -28.

$$x=-\frac{48}{16}$$

Разделите -48 на 16.

$$x=-3$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+28x+12=0$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}+28x+12-12=-12$$

Если из 12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$8x^{2}+28x=-12$$

Разделите обе части на 8.

$$\frac{8x^{2}+28x}{8}=-\frac{12}{8}$$

Деление на 8 аннулирует операцию умножения на 8.

$$x^{2}+\frac{28}{8}x=-\frac{12}{8}$$

Привести дробь \frac{28}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{12}{8}$$

Привести дробь \frac{-12}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Деление \frac{7}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Прибавьте -\frac{3}{2} к \frac{49}{16}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Вычтите \frac{7}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$