Решить 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

Найдите x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 21 из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 8x^{2}+ax+bx-21. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=-12 b=14$$

Перепишите 8x^{2}+2x-21 как \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

Разложите 4x в первом и 7 в второй группе.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-3=0 и 4x+7=0у.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$8x^{2}+2x=21$$

Вычтите 21 из обеих частей уравнения.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

Если из 21 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 8 вместо a, 2 вместо b и -21 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -4 на 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -32 на -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

Прибавьте 4 к 672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Извлеките квадратный корень из 676.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

Умножьте 2 на 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±26}{16} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 26.

$$x=\frac{24}{16}$$

Привести дробь \frac{24}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±26}{16} при условии, что ± — минус. Вычтите 26 из -2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Привести дробь \frac{-28}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x=21$$

Разделите обе части на 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

Деление на 8 аннулирует операцию умножения на 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

Привести дробь \frac{2}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

Деление \frac{1}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

Прибавьте \frac{21}{8} к \frac{1}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

Вычтите \frac{1}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$