Решить 8x^2+10x-7=0

$$8 x ^ { 2 } + 10 x - 7 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 8x^{2}+ax+bx-7. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=10 ab=8\left(-7\right)=-56$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 10.

$$a=-4 b=14$$

Перепишите 8x^{2}+10x-7 как \left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(14x-7\right)$$

Разложите 4x в первом и 7 в второй группе.

$$4x\left(2x-1\right)+7\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-1=0 и 4x+7=0у.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 8 вместо a, 10 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 8\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -4 на 8.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-32\left(-7\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -32 на -7.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+224}}{2\times 8}$$

Прибавьте 100 к 224.

$$x=\frac{-10±\sqrt{324}}{2\times 8}$$

Извлеките квадратный корень из 324.

$$x=\frac{-10±18}{2\times 8}$$

Умножьте 2 на 8.

$$x=\frac{-10±18}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{-10±18}{16} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -10 к 18.

$$x=\frac{8}{16}$$

Привести дробь \frac{8}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-10±18}{16} при условии, что ± — минус. Вычтите 18 из -10.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Привести дробь \frac{-28}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+10x-7=0$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$8x^{2}+10x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$8x^{2}+10x=-\left(-7\right)$$

Вычтите -7 из 0.

$$8x^{2}+10x=7$$

Разделите обе части на 8.

$$\frac{8x^{2}+10x}{8}=\frac{7}{8}$$

Деление на 8 аннулирует операцию умножения на 8.

$$x^{2}+\frac{10}{8}x=\frac{7}{8}$$

Привести дробь \frac{10}{8} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x=\frac{7}{8}$$

Деление \frac{5}{4}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{8}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{8} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{7}{8}+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{8} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{7}{8}+\frac{25}{64}$$

Прибавьте \frac{7}{8} к \frac{25}{64}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{81}{64}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{81}{64}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{64}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{8}=\frac{9}{8} x+\frac{5}{8}=-\frac{9}{8}$$

Вычтите \frac{5}{8} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{7}{4}$$