Решить 8x^4+6x^3-19x^2+3x+2

$$8 { x }^{ 4 } +6 { x }^{ 3 } -19 { x }^{ 2 } +3x+2$$

Разложить на множители

$$\left(x-1\right)\left(2x-1\right)\left(x+2\right)\left(4x+1\right)$$

Действия по решению

Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 2, а q делит старший коэффициент 8. Одним из таких корней является -\frac{1}{4}. Разложите многочлен на множители, разделив его на 4x+1.

$$\left(4x+1\right)\left(2x^{3}+x^{2}-5x+2\right)$$

Учтите 2x^{3}+x^{2}-5x+2. Согласно теореме о рациональных корнях, все рациональные корни многочлена имеют форму \frac{p}{q}, где p делит свободный член 2, а q делит старший коэффициент 2. Одним из таких корней является 1. Разложите многочлен на множители, разделив его на x-1.

$$\left(x-1\right)\left(2x^{2}+3x-2\right)$$

Учтите 2x^{2}+3x-2. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 2x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=3 ab=2\left(-2\right)=-4$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -4.

$$-1,4 -2,2$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 3.

$$a=-1 b=4$$

Перепишите 2x^{2}+3x-2 как \left(2x^{2}-x\right)+\left(4x-2\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(4x-2\right)$$

Разложите x в первом и 2 в второй группе.

$$x\left(2x-1\right)+2\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(x+2\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$\left(x-1\right)\left(2x-1\right)\left(4x+1\right)\left(x+2\right)$$

Вычислить

$$\left(x-1\right)\left(2x-1\right)\left(x+2\right)\left(4x+1\right)$$