Решить 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Разложить на множители

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 8x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -14.

$$a=-20 b=6$$

Перепишите 8x^{2}-14x-15 как \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Разложите 4x в первом и 3 в второй группе.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Возведите -14 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -4 на 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Умножьте -32 на -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Прибавьте 196 к 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Извлеките квадратный корень из 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Число, противоположное -14, равно 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Умножьте 2 на 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{14±26}{16} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 14 к 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Привести дробь \frac{40}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{14±26}{16} при условии, что ± — минус. Вычтите 26 из 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Привести дробь \frac{-12}{16} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{5}{2} вместо x_{1} и -\frac{3}{4} вместо x_{2}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Вычтите \frac{5}{2} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Прибавьте \frac{3}{4} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Умножьте \frac{2x-5}{2} на \frac{4x+3}{4}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Умножьте 2 на 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Сократите наибольший общий делитель 8 в 8 и 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Вычислить

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$