Решить 8+2y+3y^2=-5

$$8 + 2 y + 3 y ^ { 2 } = - 5$$

Найдите y

$$y=\frac{-1+\sqrt{38}i}{3}\approx -0,333333333+2,054804668i$$

$$y=\frac{-\sqrt{38}i-1}{3}\approx -0,333333333-2,054804668i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$3y^{2}+2y+8=-5$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$3y^{2}+2y+8-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3y^{2}+2y+8-\left(-5\right)=0$$

Вычтите -5 из 8.

$$3y^{2}+2y+13=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 3 вместо a, 2 вместо b и 13 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 13}}{2\times 3}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\times 13}}{2\times 3}$$

Умножьте -4 на 3.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-12\times 13}}{2\times 3}$$

Умножьте -12 на 13.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-156}}{2\times 3}$$

Прибавьте 4 к -156.

$$y=\frac{-2±\sqrt{-152}}{2\times 3}$$

Извлеките квадратный корень из -152.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{38}i}{2\times 3}$$

Умножьте 2 на 3.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{38}i}{6}$$

Решите уравнение y=\frac{-2±2\sqrt{38}i}{6} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 2i\sqrt{38}.

$$y=\frac{-2+2\sqrt{38}i}{6}$$

Разделите -2+2i\sqrt{38} на 6.

$$y=\frac{-1+\sqrt{38}i}{3}$$

Решите уравнение y=\frac{-2±2\sqrt{38}i}{6} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{38} из -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{38}i-2}{6}$$

Разделите -2-2i\sqrt{38} на 6.

$$y=\frac{-\sqrt{38}i-1}{3}$$

Уравнение решено.

$$y=\frac{-1+\sqrt{38}i}{3} y=\frac{-\sqrt{38}i-1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}+2y+8=-5$$

Вычтите 8 из обеих частей уравнения.

$$3y^{2}+2y+8-8=-5-8$$

Если из 8 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$3y^{2}+2y=-5-8$$

Вычтите 8 из -5.

$$3y^{2}+2y=-13$$

Разделите обе части на 3.

$$\frac{3y^{2}+2y}{3}=-\frac{13}{3}$$

Деление на 3 аннулирует операцию умножения на 3.

$$y^{2}+\frac{2}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Деление \frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}+\frac{2}{3}y+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{13}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}=-\frac{13}{3}+\frac{1}{9}$$

Прибавьте -\frac{13}{3} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y^{2}+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}=-\frac{38}{9}$$

Коэффициент y^{2}+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{38}{9}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{38}{9}}$$

Упростите.

$$y+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{38}i}{3} y+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{38}i}{3}$$

Вычтите \frac{1}{3} из обеих частей уравнения.

$$y=\frac{-1+\sqrt{38}i}{3} y=\frac{-\sqrt{38}i-1}{3}$$