Решить 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Разложить на множители

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 77r^{2}+ar+br-18. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 45.

$$a=-21 b=66$$

Перепишите 77r^{2}+45r-18 как \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Разложите 7r в первом и 6 в второй группе.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 11r-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Возведите 45 в квадрат.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Умножьте -4 на 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Умножьте -308 на -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Прибавьте 2025 к 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Извлеките квадратный корень из 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Умножьте 2 на 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Решите уравнение r=\frac{-45±87}{154} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -45 к 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Привести дробь \frac{42}{154} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Решите уравнение r=\frac{-45±87}{154} при условии, что ± — минус. Вычтите 87 из -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Привести дробь \frac{-132}{154} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{3}{11} вместо x_{1} и -\frac{6}{7} вместо x_{2}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Вычтите \frac{3}{11} из r. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Прибавьте \frac{6}{7} к r, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Умножьте \frac{11r-3}{11} на \frac{7r+6}{7}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Умножьте 11 на 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Сократите наибольший общий делитель 77 в 77 и 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Вычислить

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$