Решить 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 15x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=-3 b=10$$

Перепишите 15x^{2}+7x-2 как \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Разложите 3x в первом и 2 в второй группе.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 5x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 5x-1=0 и 3x+2=0у.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 75 вместо a, 35 вместо b и -10 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Возведите 35 в квадрат.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Умножьте -4 на 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Умножьте -300 на -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Прибавьте 1225 к 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Извлеките квадратный корень из 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Умножьте 2 на 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Решите уравнение x=\frac{-35±65}{150} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -35 к 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Привести дробь \frac{30}{150} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Решите уравнение x=\frac{-35±65}{150} при условии, что ± — минус. Вычтите 65 из -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Привести дробь \frac{-100}{150} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Прибавьте 10 к обеим частям уравнения.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Если из -10 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Вычтите -10 из 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Разделите обе части на 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Деление на 75 аннулирует операцию умножения на 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Привести дробь \frac{35}{75} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Привести дробь \frac{10}{75} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Деление \frac{7}{15}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{30}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{30} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{30} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Прибавьте \frac{2}{15} к \frac{49}{900}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Вычтите \frac{7}{30} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$