Решить 72y^2-176y+64

$$72 y ^ { 2 } - 176 y + 64$$

Разложить на множители

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Действия по решению

Вынесите 8 за скобки.

$$8\left(9y^{2}-22y+8\right)$$

Учтите 9y^{2}-22y+8. Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 9y^{2}+ay+by+8. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-22 ab=9\times 8=72$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -22.

$$a=-18 b=-4$$

Перепишите 9y^{2}-22y+8 как \left(9y^{2}-18y\right)+\left(-4y+8\right).

$$\left(9y^{2}-18y\right)+\left(-4y+8\right)$$

Разложите 9y в первом и -4 в второй группе.

$$9y\left(y-2\right)-4\left(y-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член y-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Перепишите полное разложенное на множители выражение.

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$72y^{2}-176y+64=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{\left(-176\right)^{2}-4\times 72\times 64}}{2\times 72}$$

Возведите -176 в квадрат.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-4\times 72\times 64}}{2\times 72}$$

Умножьте -4 на 72.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-288\times 64}}{2\times 72}$$

Умножьте -288 на 64.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{30976-18432}}{2\times 72}$$

Прибавьте 30976 к -18432.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±\sqrt{12544}}{2\times 72}$$

Извлеките квадратный корень из 12544.

$$y=\frac{-\left(-176\right)±112}{2\times 72}$$

Число, противоположное -176, равно 176.

$$y=\frac{176±112}{2\times 72}$$

Умножьте 2 на 72.

$$y=\frac{176±112}{144}$$

Решите уравнение y=\frac{176±112}{144} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 176 к 112.

$$y=\frac{288}{144}$$

Разделите 288 на 144.

$$y=2$$

Решите уравнение y=\frac{176±112}{144} при условии, что ± — минус. Вычтите 112 из 176.

$$y=\frac{64}{144}$$

Привести дробь \frac{64}{144} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 16.

$$y=\frac{4}{9}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте 2 вместо x_{1} и \frac{4}{9} вместо x_{2}.

$$72y^{2}-176y+64=72\left(y-2\right)\left(y-\frac{4}{9}\right)$$

Вычтите \frac{4}{9} из y. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$72y^{2}-176y+64=72\left(y-2\right)\times \frac{9y-4}{9}$$

Сократите наибольший общий делитель 9 в 72 и 9.

$$72y^{2}-176y+64=8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$

Вычислить

$$8\left(y-2\right)\left(9y-4\right)$$