Решить 7x-y=-6text{and}x-y=0

$$7 x - y = - 6 \text { and } x - y = 0$$

Найдите x, y

$$x=-1$$

$$y=-1$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$7x-y=-6$$

Прибавьте y к обеим частям уравнения.

$$7x=y-6$$

Разделите обе части на 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(y-6\right)$$

Умножьте \frac{1}{7} на y-6.

$$x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}$$

Подставьте \frac{-6+y}{7} вместо x в другом уравнении x-y=0.

$$\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}-y=0$$

Прибавьте \frac{y}{7} к -y.

$$-\frac{6}{7}y-\frac{6}{7}=0$$

Прибавьте \frac{6}{7} к обеим частям уравнения.

$$-\frac{6}{7}y=\frac{6}{7}$$

Разделите обе стороны уравнения на -\frac{6}{7}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=-1$$

Подставьте -1 вместо y в x=\frac{1}{7}y-\frac{6}{7}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{1}{7}\left(-1\right)-\frac{6}{7}$$

Умножьте \frac{1}{7} на -1.

$$x=\frac{-1-6}{7}$$

Прибавьте -\frac{6}{7} к -\frac{1}{7}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=-1$$

Система решена.

$$x=-1,y=-1$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{1}{6}&-\frac{7}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\0\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-6\right)\\\frac{1}{6}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=-1,y=-1$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$7x-y=-6,x-y=0$$

Вычтите x-y=0 из 7x-y=-6 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$7x-x-y+y=-6$$

Прибавьте -y к y. Члены -y и y сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$7x-x=-6$$

Прибавьте 7x к -x.

$$6x=-6$$

Разделите обе части на 6.

$$x=-1$$

Подставьте -1 вместо x в x-y=0. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для y.

$$-1-y=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$-y=1$$

Система решена.

$$x=-1,y=-1$$