Решить 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Найдите x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$7x-15y-2=0$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$7x-15y=2$$

Прибавьте 15y к обеим частям уравнения.

$$7x=15y+2$$

Разделите обе части на 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Умножьте \frac{1}{7} на 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Подставьте \frac{15y+2}{7} вместо x в другом уравнении x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Прибавьте \frac{15y}{7} к 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Вычтите \frac{2}{7} из обеих частей уравнения.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{29}{7}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=\frac{19}{29}$$

Подставьте \frac{19}{29} вместо y в x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Умножьте \frac{15}{7} на \frac{19}{29}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Прибавьте \frac{2}{7} к \frac{285}{203}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=\frac{49}{29}$$

Система решена.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Чтобы сделать 7x и x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 1 и все члены в обеих частях второго уравнения на 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Упростите.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Вычтите 7x+14y=21 из 7x-15y-2=0 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Прибавьте 7x к -7x. Члены 7x и -7x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-15y-14y-2=-21$$

Прибавьте -15y к -14y.

$$-29y-2=-21$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$-29y=-19$$

Разделите обе части на -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Подставьте \frac{19}{29} вместо y в x+2y=3. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Умножьте 2 на \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Вычтите \frac{38}{29} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{49}{29}$$

Система решена.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$