Решить 7x^2-36x+5=0

$$7 x ^ { 2 } - 36 x + 5 = 0$$

Найдите x

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

$$x=5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 7x^{2}+ax+bx+5. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-36 ab=7\times 5=35$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 35.

$$-1,-35 -5,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-35=-36 -5-7=-12$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -36.

$$a=-35 b=-1$$

Перепишите 7x^{2}-36x+5 как \left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right)$$

Разложите 7x в первом и -1 в второй группе.

$$7x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(7x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-5=0 и 7x-1=0у.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, -36 вместо b и 5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Возведите -36 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-28\times 5}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на 5.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-140}}{2\times 7}$$

Прибавьте 1296 к -140.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1156}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из 1156.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±34}{2\times 7}$$

Число, противоположное -36, равно 36.

$$x=\frac{36±34}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$x=\frac{36±34}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{36±34}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 36 к 34.

$$x=\frac{70}{14}$$

Разделите 70 на 14.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{36±34}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 34 из 36.

$$x=\frac{2}{14}$$

Привести дробь \frac{2}{14} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Уравнение решено.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}-36x+5-5=-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$7x^{2}-36x=-5$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7x^{2}-36x}{7}=-\frac{5}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Деление -\frac{36}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{18}{7}. Затем добавьте квадрат -\frac{18}{7} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{18}{7} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=-\frac{5}{7}+\frac{324}{49}$$

Прибавьте -\frac{5}{7} к \frac{324}{49}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=\frac{289}{49}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}=\frac{289}{49}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{49}}$$

Упростите.

$$x-\frac{18}{7}=\frac{17}{7} x-\frac{18}{7}=-\frac{17}{7}$$

Прибавьте \frac{18}{7} к обеим частям уравнения.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$