Решить 7x^2-32x-15

$$7 x ^ { 2 } - 32 x - 15$$

Разложить на множители

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 7x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-32 ab=7\left(-15\right)=-105$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -105.

$$1,-105 3,-35 5,-21 7,-15$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-105=-104 3-35=-32 5-21=-16 7-15=-8$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -32.

$$a=-35 b=3$$

Перепишите 7x^{2}-32x-15 как \left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(3x-15\right)$$

Разложите 7x в первом и 3 в второй группе.

$$7x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$7x^{2}-32x-15=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Возведите -32 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\left(-15\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на -15.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+420}}{2\times 7}$$

Прибавьте 1024 к 420.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1444}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из 1444.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±38}{2\times 7}$$

Число, противоположное -32, равно 32.

$$x=\frac{32±38}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$x=\frac{32±38}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{32±38}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 32 к 38.

$$x=\frac{70}{14}$$

Разделите 70 на 14.

$$x=5$$

Решите уравнение x=\frac{32±38}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 38 из 32.

$$x=-\frac{6}{14}$$

Привести дробь \frac{-6}{14} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{3}{7}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте 5 вместо x_{1} и -\frac{3}{7} вместо x_{2}.

$$7x^{2}-32x-15=7\left(x-5\right)\left(x-\left(-\frac{3}{7}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$7x^{2}-32x-15=7\left(x-5\right)\left(x+\frac{3}{7}\right)$$

Прибавьте \frac{3}{7} к x, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$7x^{2}-32x-15=7\left(x-5\right)\times \frac{7x+3}{7}$$

Сократите наибольший общий делитель 7 в 7 и 7.

$$7x^{2}-32x-15=\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$

Вычислить

$$\left(x-5\right)\left(7x+3\right)$$