Решить 7x^2-10x-1000=0

$$7 x ^ { 2 } - 10 x - 1000 = 0$$

Найдите x

$$x = \frac{5 \sqrt{281} + 5}{7} \approx 12,687896153$$

$$x=\frac{5-5\sqrt{281}}{7}\approx -11,259324724$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$7x^{2}-10x-1000=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, -10 вместо b и -1000 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 7\left(-1000\right)}}{2\times 7}$$

Возведите -10 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 7\left(-1000\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-28\left(-1000\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на -1000.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+28000}}{2\times 7}$$

Прибавьте 100 к 28000.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{28100}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из 28100.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±10\sqrt{281}}{2\times 7}$$

Число, противоположное -10, равно 10.

$$x=\frac{10±10\sqrt{281}}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$x=\frac{10±10\sqrt{281}}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{10±10\sqrt{281}}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 10 к 10\sqrt{281}.

$$x=\frac{10\sqrt{281}+10}{14}$$

Разделите 10+10\sqrt{281} на 14.

$$x=\frac{5\sqrt{281}+5}{7}$$

Решите уравнение x=\frac{10±10\sqrt{281}}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 10\sqrt{281} из 10.

$$x=\frac{10-10\sqrt{281}}{14}$$

Разделите 10-10\sqrt{281} на 14.

$$x=\frac{5-5\sqrt{281}}{7}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5\sqrt{281}+5}{7} x=\frac{5-5\sqrt{281}}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-10x-1000=0$$

Прибавьте 1000 к обеим частям уравнения.

$$7x^{2}-10x-1000-\left(-1000\right)=-\left(-1000\right)$$

Если из -1000 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$7x^{2}-10x=-\left(-1000\right)$$

Вычтите -1000 из 0.

$$7x^{2}-10x=1000$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7x^{2}-10x}{7}=\frac{1000}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x=\frac{1000}{7}$$

Деление -\frac{10}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{7}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{7} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1000}{7}+\left(-\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{7} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1000}{7}+\frac{25}{49}$$

Прибавьте \frac{1000}{7} к \frac{25}{49}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7025}{49}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7025}{49}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7025}{49}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{7}=\frac{5\sqrt{281}}{7} x-\frac{5}{7}=-\frac{5\sqrt{281}}{7}$$

Прибавьте \frac{5}{7} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5\sqrt{281}+5}{7} x=\frac{5-5\sqrt{281}}{7}$$