Решить 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, 4 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Возведите 4 в квадрат.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Прибавьте 16 к -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -4 к 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Разделите -4+2i\sqrt{3} на 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Решите уравнение x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{3} из -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Разделите -4-2i\sqrt{3} на 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Разделите \frac{4}{7}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{2}{7}. Затем добавьте квадрат \frac{2}{7} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Возведите \frac{2}{7} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Прибавьте -\frac{1}{7} к \frac{4}{49}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Разложите x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Упростите.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Вычтите \frac{2}{7} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$