Решить 7x^2+2x=9

$$7 x ^ { 2 } + 2 x = 9$$

Найдите x

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1,285714286$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 7x^{2}+ax+bx-9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=2 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 2.

$$a=-7 b=9$$

Перепишите 7x^{2}+2x-9 как \left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right).

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right)$$

Разложите 7x в первом и 9 в второй группе.

$$7x\left(x-1\right)+9\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(7x+9\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 7x+9=0у.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$7x^{2}+2x=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}+2x-9=9-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, 2 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 7}$$

Прибавьте 4 к 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$x=\frac{-2±16}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±16}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 16.

$$x=\frac{14}{14}$$

Разделите 14 на 14.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{-2±16}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 16 из -2.

$$x=-\frac{18}{14}$$

Привести дробь \frac{-18}{14} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+2x=9$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=\frac{9}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=\frac{9}{7}$$

Деление \frac{2}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{7}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{7} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{7} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{9}{7}+\frac{1}{49}$$

Прибавьте \frac{9}{7} к \frac{1}{49}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{64}{49}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{64}{49}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{49}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{8}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{8}{7}$$

Вычтите \frac{1}{7} из обеих частей уравнения.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$