Решить 7x^2+2x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7}\approx -0,142857143+0,349927106i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}\approx -0,142857143-0,349927106i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$7x^{2}+2x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, 2 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Возведите 2 в квадрат.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28}}{2\times 7}$$

Прибавьте 4 к -28.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-24}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из -24.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -2 к 2i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{6}i}{14}$$

Разделите -2+2i\sqrt{6} на 14.

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7}$$

Решите уравнение x=\frac{-2±2\sqrt{6}i}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 2i\sqrt{6} из -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{6}i-2}{14}$$

Разделите -2-2i\sqrt{6} на 14.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7} x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+2x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}+2x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$7x^{2}+2x=-1$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Деление \frac{2}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{7}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{7} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{7} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}$$

Прибавьте -\frac{1}{7} к \frac{1}{49}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=-\frac{6}{49}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=-\frac{6}{49}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6}{49}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{\sqrt{6}i}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{\sqrt{6}i}{7}$$

Вычтите \frac{1}{7} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-1+\sqrt{6}i}{7} x=\frac{-\sqrt{6}i-1}{7}$$