Решить 7v-4(v-9)=4(5v+9)v

$$7 v - 4 ( v - 9 ) = 4 ( 5 v + 9 ) v$$

Найдите v

$$v=\frac{3}{4}=0,75$$

$$v = -\frac{12}{5} = -2\frac{2}{5} = -2,4$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы умножить -4 на v-9, используйте свойство дистрибутивности.

$$7v-4v+36=4\left(5v+9\right)v$$

Объедините 7v и -4v, чтобы получить 3v.

$$3v+36=4\left(5v+9\right)v$$

Чтобы умножить 4 на 5v+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$3v+36=\left(20v+36\right)v$$

Чтобы умножить 20v+36 на v, используйте свойство дистрибутивности.

$$3v+36=20v^{2}+36v$$

Вычтите 20v^{2} из обеих частей уравнения.

$$3v+36-20v^{2}=36v$$

Вычтите 36v из обеих частей уравнения.

$$3v+36-20v^{2}-36v=0$$

Объедините 3v и -36v, чтобы получить -33v.

$$-33v+36-20v^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-20v^{2}-33v+36=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -20v^{2}+av+bv+36. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-33 ab=-20\times 36=-720$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -720.

$$1,-720 2,-360 3,-240 4,-180 5,-144 6,-120 8,-90 9,-80 10,-72 12,-60 15,-48 16,-45 18,-40 20,-36 24,-30$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-720=-719 2-360=-358 3-240=-237 4-180=-176 5-144=-139 6-120=-114 8-90=-82 9-80=-71 10-72=-62 12-60=-48 15-48=-33 16-45=-29 18-40=-22 20-36=-16 24-30=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -33.

$$a=15 b=-48$$

Перепишите -20v^{2}-33v+36 как \left(-20v^{2}+15v\right)+\left(-48v+36\right).

$$\left(-20v^{2}+15v\right)+\left(-48v+36\right)$$

Разложите -5v в первом и -12 в второй группе.

$$-5v\left(4v-3\right)-12\left(4v-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 4v-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(4v-3\right)\left(-5v-12\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 4v-3=0 и -5v-12=0у.

$$v=\frac{3}{4} v=-\frac{12}{5}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы умножить -4 на v-9, используйте свойство дистрибутивности.

$$7v-4v+36=4\left(5v+9\right)v$$

Объедините 7v и -4v, чтобы получить 3v.

$$3v+36=4\left(5v+9\right)v$$

Чтобы умножить 4 на 5v+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$3v+36=\left(20v+36\right)v$$

Чтобы умножить 20v+36 на v, используйте свойство дистрибутивности.

$$3v+36=20v^{2}+36v$$

Вычтите 20v^{2} из обеих частей уравнения.

$$3v+36-20v^{2}=36v$$

Вычтите 36v из обеих частей уравнения.

$$3v+36-20v^{2}-36v=0$$

Объедините 3v и -36v, чтобы получить -33v.

$$-33v+36-20v^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-20v^{2}-33v+36=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -20 вместо a, -33 вместо b и 36 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{\left(-33\right)^{2}-4\left(-20\right)\times 36}}{2\left(-20\right)}$$

Возведите -33 в квадрат.

$$v=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089-4\left(-20\right)\times 36}}{2\left(-20\right)}$$

Умножьте -4 на -20.

$$v=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+80\times 36}}{2\left(-20\right)}$$

Умножьте 80 на 36.

$$v=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{1089+2880}}{2\left(-20\right)}$$

Прибавьте 1089 к 2880.

$$v=\frac{-\left(-33\right)±\sqrt{3969}}{2\left(-20\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 3969.

$$v=\frac{-\left(-33\right)±63}{2\left(-20\right)}$$

Число, противоположное -33, равно 33.

$$v=\frac{33±63}{2\left(-20\right)}$$

Умножьте 2 на -20.

$$v=\frac{33±63}{-40}$$

Решите уравнение v=\frac{33±63}{-40} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 33 к 63.

$$v=\frac{96}{-40}$$

Привести дробь \frac{96}{-40} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 8.

$$v=-\frac{12}{5}$$

Решите уравнение v=\frac{33±63}{-40} при условии, что ± — минус. Вычтите 63 из 33.

$$v=-\frac{30}{-40}$$

Привести дробь \frac{-30}{-40} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 10.

$$v=\frac{3}{4}$$

Уравнение решено.

$$v=-\frac{12}{5} v=\frac{3}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Чтобы умножить -4 на v-9, используйте свойство дистрибутивности.

$$7v-4v+36=4\left(5v+9\right)v$$

Объедините 7v и -4v, чтобы получить 3v.

$$3v+36=4\left(5v+9\right)v$$

Чтобы умножить 4 на 5v+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$3v+36=\left(20v+36\right)v$$

Чтобы умножить 20v+36 на v, используйте свойство дистрибутивности.

$$3v+36=20v^{2}+36v$$

Вычтите 20v^{2} из обеих частей уравнения.

$$3v+36-20v^{2}=36v$$

Вычтите 36v из обеих частей уравнения.

$$3v+36-20v^{2}-36v=0$$

Объедините 3v и -36v, чтобы получить -33v.

$$-33v+36-20v^{2}=0$$

Вычтите 36 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$-33v-20v^{2}=-36$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-20v^{2}-33v=-36$$

Разделите обе части на -20.

$$\frac{-20v^{2}-33v}{-20}=-\frac{36}{-20}$$

Деление на -20 аннулирует операцию умножения на -20.

$$v^{2}+\left(-\frac{33}{-20}\right)v=-\frac{36}{-20}$$

Разделите -33 на -20.

$$v^{2}+\frac{33}{20}v=-\frac{36}{-20}$$

Привести дробь \frac{-36}{-20} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$v^{2}+\frac{33}{20}v=\frac{9}{5}$$

Деление \frac{33}{20}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{33}{40}. Затем добавьте квадрат \frac{33}{40} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$v^{2}+\frac{33}{20}v+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{9}{5}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

Возведите \frac{33}{40} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$v^{2}+\frac{33}{20}v+\frac{1089}{1600}=\frac{9}{5}+\frac{1089}{1600}$$

Прибавьте \frac{9}{5} к \frac{1089}{1600}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$v^{2}+\frac{33}{20}v+\frac{1089}{1600}=\frac{3969}{1600}$$

Коэффициент v^{2}+\frac{33}{20}v+\frac{1089}{1600}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{3969}{1600}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(v+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3969}{1600}}$$

Упростите.

$$v+\frac{33}{40}=\frac{63}{40} v+\frac{33}{40}=-\frac{63}{40}$$

Вычтите \frac{33}{40} из обеих частей уравнения.

$$v=\frac{3}{4} v=-\frac{12}{5}$$