Решить 7t^2-5t-9=0

$$7 t ^ { 2 } - 5 t - 9 = 0$$

Найдите t

$$t = \frac{\sqrt{277} + 5}{14} \approx 1,545951213$$

$$t=\frac{5-\sqrt{277}}{14}\approx -0,831665498$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$7t^{2}-5t-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, -5 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на -9.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+252}}{2\times 7}$$

Прибавьте 25 к 252.

$$t=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{277}}{2\times 7}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$t=\frac{5±\sqrt{277}}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$t=\frac{5±\sqrt{277}}{14}$$

Решите уравнение t=\frac{5±\sqrt{277}}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к \sqrt{277}.

$$t=\frac{\sqrt{277}+5}{14}$$

Решите уравнение t=\frac{5±\sqrt{277}}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{277} из 5.

$$t=\frac{5-\sqrt{277}}{14}$$

Уравнение решено.

$$t=\frac{\sqrt{277}+5}{14} t=\frac{5-\sqrt{277}}{14}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$7t^{2}-5t-9=0$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$7t^{2}-5t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$7t^{2}-5t=-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 0.

$$7t^{2}-5t=9$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7t^{2}-5t}{7}=\frac{9}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$t^{2}-\frac{5}{7}t=\frac{9}{7}$$

Деление -\frac{5}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{14}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{14} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$t^{2}-\frac{5}{7}t+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{14} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$t^{2}-\frac{5}{7}t+\frac{25}{196}=\frac{9}{7}+\frac{25}{196}$$

Прибавьте \frac{9}{7} к \frac{25}{196}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$t^{2}-\frac{5}{7}t+\frac{25}{196}=\frac{277}{196}$$

Коэффициент t^{2}-\frac{5}{7}t+\frac{25}{196}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{277}{196}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(t-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{277}{196}}$$

Упростите.

$$t-\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{277}}{14} t-\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{277}}{14}$$

Прибавьте \frac{5}{14} к обеим частям уравнения.

$$t=\frac{\sqrt{277}+5}{14} t=\frac{5-\sqrt{277}}{14}$$