Решить 7n^2+10n-130=0

$$7 n ^ { 2 } + 10 n - 130 = 0$$

Найдите n

$$n = \frac{\sqrt{935} - 5}{7} \approx 3,6539671$$

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}\approx -5,082538529$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, 10 вместо b и -130 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Возведите 10 в квадрат.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 7\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-28\left(-130\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на -130.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+3640}}{2\times 7}$$

Прибавьте 100 к 3640.

$$n=\frac{-10±\sqrt{3740}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из 3740.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14}$$

Решите уравнение n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -10 к 2\sqrt{935}.

$$n=\frac{2\sqrt{935}-10}{14}$$

Разделите -10+2\sqrt{935} на 14.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7}$$

Решите уравнение n=\frac{-10±2\sqrt{935}}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{935} из -10.

$$n=\frac{-2\sqrt{935}-10}{14}$$

Разделите -10-2\sqrt{935} на 14.

$$n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

Уравнение решено.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+10n-130=0$$

Прибавьте 130 к обеим частям уравнения.

$$7n^{2}+10n-130-\left(-130\right)=-\left(-130\right)$$

Если из -130 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$7n^{2}+10n=-\left(-130\right)$$

Вычтите -130 из 0.

$$7n^{2}+10n=130$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7n^{2}+10n}{7}=\frac{130}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n=\frac{130}{7}$$

Деление \frac{10}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{7}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{7} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{130}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{7} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{130}{7}+\frac{25}{49}$$

Прибавьте \frac{130}{7} к \frac{25}{49}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}=\frac{935}{49}$$

Коэффициент n^{2}+\frac{10}{7}n+\frac{25}{49}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{935}{49}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{935}{49}}$$

Упростите.

$$n+\frac{5}{7}=\frac{\sqrt{935}}{7} n+\frac{5}{7}=-\frac{\sqrt{935}}{7}$$

Вычтите \frac{5}{7} из обеих частей уравнения.

$$n=\frac{\sqrt{935}-5}{7} n=\frac{-\sqrt{935}-5}{7}$$