Решить 7a^2+47a-14

$$7 a ^ { 2 } + 47 a - 14$$

Разложить на множители

$$\left(7a-2\right)\left(a+7\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 7a^{2}+pa+qa-14. Чтобы найти p и q, настройте систему на ее устранение.

$$p+q=47 pq=7\left(-14\right)=-98$$

Так как pq является отрицательным, p и q имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения p+q положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -98.

$$-1,98 -2,49 -7,14$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+98=97 -2+49=47 -7+14=7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 47.

$$p=-2 q=49$$

Перепишите 7a^{2}+47a-14 как \left(7a^{2}-2a\right)+\left(49a-14\right).

$$\left(7a^{2}-2a\right)+\left(49a-14\right)$$

Разложите a в первом и 7 в второй группе.

$$a\left(7a-2\right)+7\left(7a-2\right)$$

Вынесите за скобки общий член 7a-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(7a-2\right)\left(a+7\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$7a^{2}+47a-14=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$a=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 7\left(-14\right)}}{2\times 7}$$

Возведите 47 в квадрат.

$$a=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 7\left(-14\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$a=\frac{-47±\sqrt{2209-28\left(-14\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на -14.

$$a=\frac{-47±\sqrt{2209+392}}{2\times 7}$$

Прибавьте 2209 к 392.

$$a=\frac{-47±\sqrt{2601}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из 2601.

$$a=\frac{-47±51}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$a=\frac{-47±51}{14}$$

Решите уравнение a=\frac{-47±51}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -47 к 51.

$$a=\frac{4}{14}$$

Привести дробь \frac{4}{14} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$a=\frac{2}{7}$$

Решите уравнение a=\frac{-47±51}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 51 из -47.

$$a=-\frac{98}{14}$$

Разделите -98 на 14.

$$a=-7$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{2}{7} вместо x_{1} и -7 вместо x_{2}.

$$7a^{2}+47a-14=7\left(a-\frac{2}{7}\right)\left(a-\left(-7\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$7a^{2}+47a-14=7\left(a-\frac{2}{7}\right)\left(a+7\right)$$

Вычтите \frac{2}{7} из a. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$7a^{2}+47a-14=7\times \frac{7a-2}{7}\left(a+7\right)$$

Сократите наибольший общий делитель 7 в 7 и 7.

$$7a^{2}+47a-14=\left(7a-2\right)\left(a+7\right)$$

Вычислить

$$\left(7a-2\right)\left(a+7\right)$$