Решить 7x^2-80x+47=0

$$7 { x }^{ 2 } -80x+47=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{1271} + 40}{7} \approx 10,807298134$$

$$x=\frac{40-\sqrt{1271}}{7}\approx 0,621273294$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$7x^{2}-80x+47=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, -80 вместо b и 47 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 7\times 47}}{2\times 7}$$

Возведите -80 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 7\times 47}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-28\times 47}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на 47.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-1316}}{2\times 7}$$

Прибавьте 6400 к -1316.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{5084}}{2\times 7}$$

Извлеките квадратный корень из 5084.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±2\sqrt{1271}}{2\times 7}$$

Число, противоположное -80, равно 80.

$$x=\frac{80±2\sqrt{1271}}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$x=\frac{80±2\sqrt{1271}}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{80±2\sqrt{1271}}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 80 к 2\sqrt{1271}.

$$x=\frac{2\sqrt{1271}+80}{14}$$

Разделите 80+2\sqrt{1271} на 14.

$$x=\frac{\sqrt{1271}+40}{7}$$

Решите уравнение x=\frac{80±2\sqrt{1271}}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите 2\sqrt{1271} из 80.

$$x=\frac{80-2\sqrt{1271}}{14}$$

Разделите 80-2\sqrt{1271} на 14.

$$x=\frac{40-\sqrt{1271}}{7}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{1271}+40}{7} x=\frac{40-\sqrt{1271}}{7}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-80x+47=0$$

Вычтите 47 из обеих частей уравнения.

$$7x^{2}-80x+47-47=-47$$

Если из 47 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$7x^{2}-80x=-47$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7x^{2}-80x}{7}=-\frac{47}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x=-\frac{47}{7}$$

Деление -\frac{80}{7}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{40}{7}. Затем добавьте квадрат -\frac{40}{7} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x+\left(-\frac{40}{7}\right)^{2}=-\frac{47}{7}+\left(-\frac{40}{7}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{40}{7} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x+\frac{1600}{49}=-\frac{47}{7}+\frac{1600}{49}$$

Прибавьте -\frac{47}{7} к \frac{1600}{49}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{80}{7}x+\frac{1600}{49}=\frac{1271}{49}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{80}{7}x+\frac{1600}{49}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{40}{7}\right)^{2}=\frac{1271}{49}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{40}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1271}{49}}$$

Упростите.

$$x-\frac{40}{7}=\frac{\sqrt{1271}}{7} x-\frac{40}{7}=-\frac{\sqrt{1271}}{7}$$

Прибавьте \frac{40}{7} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{1271}+40}{7} x=\frac{40-\sqrt{1271}}{7}$$