Решить 7x^2-3x-5=0

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

Найдите x

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1.086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0.657611115$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 7 вместо a, -3 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -4 на 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Умножьте -28 на -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

Прибавьте 9 к 140.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Число, противоположное -3, равно 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Умножьте 2 на 7.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 3 к \sqrt{149}.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

Решите уравнение x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} при условии, что ± — минус. Вычтите \sqrt{149} из 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$7x^{2}-3x=5$$

Разделите обе части на 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

Деление на 7 аннулирует операцию умножения на 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

Разделите -\frac{3}{7}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{3}{14}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{14} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{14} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

Прибавьте \frac{5}{7} к \frac{9}{196}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

Разложите x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

Прибавьте \frac{3}{14} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$