Решить 6x-1=9x^2

$$6x-1=9 { x }^{ 2 }$$

Найдите x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 9x^{2} из обеих частей уравнения.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-9x^{2}+6x-1=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -9x^{2}+ax+bx-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=6 ab=-9\left(-1\right)=9$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 9.

$$1,9 3,3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+9=10 3+3=6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 6.

$$a=3 b=3$$

Перепишите -9x^{2}+6x-1 как \left(-9x^{2}+3x\right)+\left(3x-1\right).

$$\left(-9x^{2}+3x\right)+\left(3x-1\right)$$

Вынесите за скобки -3x в -9x^{2}+3x.

$$-3x\left(3x-1\right)+3x-1$$

Вынесите за скобки общий член 3x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-1\right)\left(-3x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-1=0 и -3x+1=0у.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Вычтите 9x^{2} из обеих частей уравнения.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-9x^{2}+6x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -9 вместо a, 6 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-9\right)\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-9\right)\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте -4 на -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+36\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 36 на -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\left(-9\right)}$$

Прибавьте 36 к -36.

$$x=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\left(-9\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{6}{2\left(-9\right)}$$

Умножьте 2 на -9.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Привести дробь \frac{-6}{-18} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Вычтите 9x^{2} из обеих частей уравнения.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям. Если прибавить к любому числу ноль, то это число не изменится.

$$6x-9x^{2}=1$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+6x=1$$

Разделите обе части на -9.

$$\frac{-9x^{2}+6x}{-9}=\frac{1}{-9}$$

Деление на -9 аннулирует операцию умножения на -9.

$$x^{2}+\frac{6}{-9}x=\frac{1}{-9}$$

Привести дробь \frac{6}{-9} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{-9}$$

Разделите 1 на -9.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Деление -\frac{2}{3}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{3}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{3} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{3} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Прибавьте -\frac{1}{9} к \frac{1}{9}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Коэффициент x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{3}=0 x-\frac{1}{3}=0$$

Прибавьте \frac{1}{3} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=\frac{1}{3}$$