Решить 64x^2-16x+1

$$64 x ^ { 2 } - 16 x + 1$$

Разложить на множители

$$\left(8x-1\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 64x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-16 ab=64\times 1=64$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 64.

$$-1,-64 -2,-32 -4,-16 -8,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-64=-65 -2-32=-34 -4-16=-20 -8-8=-16$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -16.

$$a=-8 b=-8$$

Перепишите 64x^{2}-16x+1 как \left(64x^{2}-8x\right)+\left(-8x+1\right).

$$\left(64x^{2}-8x\right)+\left(-8x+1\right)$$

Разложите 8x в первом и -1 в второй группе.

$$8x\left(8x-1\right)-\left(8x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 8x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(8x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(8x-1\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(64x^{2}-16x+1)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(64,-16,1)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 64x^{2}.

$$\sqrt{64x^{2}}=8x$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(8x-1\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$64x^{2}-16x+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 64}}{2\times 64}$$

Возведите -16 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 64}}{2\times 64}$$

Умножьте -4 на 64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-256}}{2\times 64}$$

Прибавьте 256 к -256.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±0}{2\times 64}$$

Число, противоположное -16, равно 16.

$$x=\frac{16±0}{2\times 64}$$

Умножьте 2 на 64.

$$x=\frac{16±0}{128}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{1}{8} вместо x_{1} и \frac{1}{8} вместо x_{2}.

$$64x^{2}-16x+1=64\left(x-\frac{1}{8}\right)\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

Вычтите \frac{1}{8} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$64x^{2}-16x+1=64\times \frac{8x-1}{8}\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

Вычтите \frac{1}{8} из x. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$64x^{2}-16x+1=64\times \frac{8x-1}{8}\times \frac{8x-1}{8}$$

Умножьте \frac{8x-1}{8} на \frac{8x-1}{8}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$64x^{2}-16x+1=64\times \frac{\left(8x-1\right)\left(8x-1\right)}{8\times 8}$$

Умножьте 8 на 8.

$$64x^{2}-16x+1=64\times \frac{\left(8x-1\right)\left(8x-1\right)}{64}$$

Сократите наибольший общий делитель 64 в 64 и 64.

$$64x^{2}-16x+1=\left(8x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Вычислить

$$\left(8x-1\right)^{2}$$