Решить 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0,419262746+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0,419262746-0,582961191i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 64 вместо a, 24\sqrt{5} вместо b и 33 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Возведите 24\sqrt{5} в квадрат.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Умножьте -4 на 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Умножьте -256 на 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Прибавьте 2880 к -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Извлеките квадратный корень из -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Умножьте 2 на 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Решите уравнение x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -24\sqrt{5} к 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Разделите -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} на 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Решите уравнение x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} при условии, что ± — минус. Вычтите 8i\sqrt{87} из -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Разделите -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} на 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Вычтите 33 из обеих частей уравнения.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Если из 33 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Разделите обе части на 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

Деление на 64 аннулирует операцию умножения на 64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Разделите 24\sqrt{5} на 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Деление \frac{3\sqrt{5}}{8}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{3\sqrt{5}}{16}. Затем добавьте квадрат \frac{3\sqrt{5}}{16} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Возведите \frac{3\sqrt{5}}{16} в квадрат.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Прибавьте -\frac{33}{64} к \frac{45}{256}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Упростите.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Вычтите \frac{3\sqrt{5}}{16} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$