Решить 64v^2+48v+9

$$64 v ^ { 2 } + 48 v + 9$$

Разложить на множители

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 64v^{2}+av+bv+9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=48 ab=64\times 9=576$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 576.

$$1,576 2,288 3,192 4,144 6,96 8,72 9,64 12,48 16,36 18,32 24,24$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+576=577 2+288=290 3+192=195 4+144=148 6+96=102 8+72=80 9+64=73 12+48=60 16+36=52 18+32=50 24+24=48$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 48.

$$a=24 b=24$$

Перепишите 64v^{2}+48v+9 как \left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right).

$$\left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right)$$

Разложите 8v в первом и 3 в второй группе.

$$8v\left(8v+3\right)+3\left(8v+3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 8v+3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Способ выделения квадрата двучлена

Этот трехчлен имеет вид квадратного трехчлена, возможно, умноженного на общий множитель. Квадратные трехчлены можно разложить, найдя квадратные корни первого и последнего членов.

$$factor(64v^{2}+48v+9)$$

Найдите наибольший общий делитель коэффициентов.

$$gcf(64,48,9)=1$$

Найдите квадратный корень первого члена 64v^{2}.

$$\sqrt{64v^{2}}=8v$$

Найдите квадратный корень последнего члена 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Квадратный трехчлен равен квадрату двучлена, представляющего собой сумму или разность квадратных корней первого и последнего членов. При этом знак определяется знаком среднего члена квадратного трехчлена.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$64v^{2}+48v+9=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$v=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Возведите 48 в квадрат.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Умножьте -4 на 64.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-256\times 9}}{2\times 64}$$

Умножьте -256 на 9.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-2304}}{2\times 64}$$

Прибавьте 2304 к -2304.

$$v=\frac{-48±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$v=\frac{-48±0}{2\times 64}$$

Умножьте 2 на 64.

$$v=\frac{-48±0}{128}$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте -\frac{3}{8} вместо x_{1} и -\frac{3}{8} вместо x_{2}.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v+\frac{3}{8}\right)\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Прибавьте \frac{3}{8} к v, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Прибавьте \frac{3}{8} к v, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\times \frac{8v+3}{8}$$

Умножьте \frac{8v+3}{8} на \frac{8v+3}{8}, перемножив числители и знаменатели. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{8\times 8}$$

Умножьте 8 на 8.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{64}$$

Сократите наибольший общий делитель 64 в 64 и 64.

$$64v^{2}+48v+9=\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Вычислить

$$\left(8v+3\right)^{2}$$