Решить 6y^2+13y+63=0

$$6 y ^ { 2 } + 13 y + 63 = 0$$

Найдите y

$$y=\frac{-13+\sqrt{1343}i}{12}\approx -1,083333333+3,0539137i$$

$$y=\frac{-\sqrt{1343}i-13}{12}\approx -1,083333333-3,0539137i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6y^{2}+13y+63=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, 13 вместо b и 63 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 6\times 63}}{2\times 6}$$

Возведите 13 в квадрат.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 6\times 63}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-24\times 63}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на 63.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-1512}}{2\times 6}$$

Прибавьте 169 к -1512.

$$y=\frac{-13±\sqrt{-1343}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из -1343.

$$y=\frac{-13±\sqrt{1343}i}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$y=\frac{-13±\sqrt{1343}i}{12}$$

Решите уравнение y=\frac{-13±\sqrt{1343}i}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -13 к i\sqrt{1343}.

$$y=\frac{-13+\sqrt{1343}i}{12}$$

Решите уравнение y=\frac{-13±\sqrt{1343}i}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{1343} из -13.

$$y=\frac{-\sqrt{1343}i-13}{12}$$

Уравнение решено.

$$y=\frac{-13+\sqrt{1343}i}{12} y=\frac{-\sqrt{1343}i-13}{12}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+13y+63=0$$

Вычтите 63 из обеих частей уравнения.

$$6y^{2}+13y+63-63=-63$$

Если из 63 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6y^{2}+13y=-63$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6y^{2}+13y}{6}=-\frac{63}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y=-\frac{63}{6}$$

Привести дробь \frac{-63}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y=-\frac{21}{2}$$

Деление \frac{13}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{13}{12}. Затем добавьте квадрат \frac{13}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Возведите \frac{13}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{144}$$

Прибавьте -\frac{21}{2} к \frac{169}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}=-\frac{1343}{144}$$

Коэффициент y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{13}{12}\right)^{2}=-\frac{1343}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(y+\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1343}{144}}$$

Упростите.

$$y+\frac{13}{12}=\frac{\sqrt{1343}i}{12} y+\frac{13}{12}=-\frac{\sqrt{1343}i}{12}$$

Вычтите \frac{13}{12} из обеих частей уравнения.

$$y=\frac{-13+\sqrt{1343}i}{12} y=\frac{-\sqrt{1343}i-13}{12}$$