Решить 6x^2-x-2=0

$$6 x ^ { 2 } - x - 2 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx-2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-1 ab=6\left(-2\right)=-12$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-4 b=3$$

Перепишите 6x^{2}-x-2 как \left(6x^{2}-4x\right)+\left(3x-2\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(3x-2\right)$$

Вынесите за скобки 2x в 6x^{2}-4x.

$$2x\left(3x-2\right)+3x-2$$

Вынесите за скобки общий член 3x-2, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-2=0 и 2x+1=0у.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}-x-2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, -1 вместо b и -2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-2\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 6}$$

Прибавьте 1 к 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 6}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{1±7}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{1±7}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 7.

$$x=\frac{8}{12}$$

Привести дробь \frac{8}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{1±7}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Привести дробь \frac{-6}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x-2=0$$

Прибавьте 2 к обеим частям уравнения.

$$6x^{2}-x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Если из -2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}-x=-\left(-2\right)$$

Вычтите -2 из 0.

$$6x^{2}-x=2$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{2}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{2}{6}$$

Привести дробь \frac{2}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{1}{3}$$

Деление -\frac{1}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{1}{12}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{1}{3}+\frac{1}{144}$$

Прибавьте \frac{1}{3} к \frac{1}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{49}{144}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{7}{12}$$

Прибавьте \frac{1}{12} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{2}$$