Решить 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Найдите x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Способ разложения на множители путем группировки

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx-15. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары, содержащие -90 продукта.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -1.

$$a=-10 b=9$$

Перепишите 6x^{2}-x-15 как \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Вынесите за скобки 2x в первой и 3 во второй группе.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-5=0 и 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}-x=15$$

Вычтите 15 из обеих частей уравнения.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Если из 15 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, -1 вместо b и -15 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Прибавьте 1 к 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Число, противоположное -1, равно 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{1±19}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 1 к 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Привести дробь \frac{20}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{1±19}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 19 из 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Привести дробь \frac{-18}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Привести дробь \frac{15}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Разделите -\frac{1}{6}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{1}{12}. Затем добавьте квадрат -\frac{1}{12} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{1}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Прибавьте \frac{5}{2} к \frac{1}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Разложите x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Упростите.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Прибавьте \frac{1}{12} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$