Решить 6x^2-5x-6=0

$$6 x ^ { 2 } - 5 x - 6 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx-6. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-9 b=4$$

Перепишите 6x^{2}-5x-6 как \left(6x^{2}-9x\right)+\left(4x-6\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(4x-6\right)$$

Разложите 3x в первом и 2 в второй группе.

$$3x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-3=0 и 3x+2=0у.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}-5x-6=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, -5 вместо b и -6 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

Прибавьте 25 к 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 6}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{5±13}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{5±13}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 13.

$$x=\frac{18}{12}$$

Привести дробь \frac{18}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{5±13}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из 5.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Привести дробь \frac{-8}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-6=0$$

Прибавьте 6 к обеим частям уравнения.

$$6x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Если из -6 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-6\right)$$

Вычтите -6 из 0.

$$6x^{2}-5x=6$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{6}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

Разделите 6 на 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=1$$

Деление -\frac{5}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{12}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

Прибавьте 1 к \frac{25}{144}.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

Прибавьте \frac{5}{12} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$