Решить 6x^2-5x+1<0

$$6 x ^ { 2 } - 5 x + 1 < 0$$

Решение для x

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-5x+1=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 6, b на -5 и c на 1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\times 1}}{2\times 6}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{5±1}{12}$$

Решение x=\frac{5±1}{12} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{3}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-\frac{1}{2} и x-\frac{1}{3} должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда x-\frac{1}{2} положительное и x-\frac{1}{3} отрицательно.

$$x-\frac{1}{2}>0 x-\frac{1}{3}<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда x-\frac{1}{3} положительное и x-\frac{1}{2} отрицательно.

$$x-\frac{1}{3}>0 x-\frac{1}{2}<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$$