Решить 6x^2-12x-210=0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x - 210 = 0$$

Найдите x

$$x=-5$$

$$x=7$$

Способ разложения на множители путем группировки

Разделите обе части на 6.

$$x^{2}-2x-35=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx-35. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-2 ab=1\left(-35\right)=-35$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -35.

$$1,-35 5,-7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-35=-34 5-7=-2$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -2.

$$a=-7 b=5$$

Перепишите x^{2}-2x-35 как \left(x^{2}-7x\right)+\left(5x-35\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(5x-35\right)$$

Разложите x в первом и 5 в второй группе.

$$x\left(x-7\right)+5\left(x-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-7\right)\left(x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-7=0 и x+5=0у.

$$x=7 x=-5$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}-12x-210=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, -12 вместо b и -210 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\left(-210\right)}}{2\times 6}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 6\left(-210\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-24\left(-210\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -210.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+5040}}{2\times 6}$$

Прибавьте 144 к 5040.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{5184}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 5184.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±72}{2\times 6}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$x=\frac{12±72}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{12±72}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{12±72}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 72.

$$x=\frac{84}{12}$$

Разделите 84 на 12.

$$x=7$$

Решите уравнение x=\frac{12±72}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 72 из 12.

$$x=-\frac{60}{12}$$

Разделите -60 на 12.

$$x=-5$$

Уравнение решено.

$$x=7 x=-5$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-12x-210=0$$

Прибавьте 210 к обеим частям уравнения.

$$6x^{2}-12x-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Если из -210 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}-12x=-\left(-210\right)$$

Вычтите -210 из 0.

$$6x^{2}-12x=210$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}-12x}{6}=\frac{210}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{6}\right)x=\frac{210}{6}$$

Разделите -12 на 6.

$$x^{2}-2x=\frac{210}{6}$$

Разделите 210 на 6.

$$x^{2}-2x=35$$

Деление -2, коэффициент x термина, 2 для получения -1. Затем добавьте квадрат -1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-2x+1=35+1$$

Прибавьте 35 к 1.

$$x^{2}-2x+1=36$$

Коэффициент x^{2}-2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=36$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Упростите.

$$x-1=6 x-1=-6$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$x=7 x=-5$$