Решить 6x^2+x-5=0

$$6 x ^ { 2 } + x - 5 = 0$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx-5. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=1 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 1.

$$a=-5 b=6$$

Перепишите 6x^{2}+x-5 как \left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right)$$

Вынесите за скобки x в 6x^{2}-5x.

$$x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Вынесите за скобки общий член 6x-5, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(6x-5\right)\left(x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 6x-5=0 и x+1=0у.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, 1 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 6}$$

Прибавьте 1 к 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{-1±11}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±11}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -1 к 11.

$$x=\frac{10}{12}$$

Привести дробь \frac{10}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

Решите уравнение x=\frac{-1±11}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 11 из -1.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Разделите -12 на 12.

$$x=-1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$6x^{2}+x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}+x=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$6x^{2}+x=5$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}+x}{6}=\frac{5}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$$

Деление \frac{1}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{1}{12}. Затем добавьте квадрат \frac{1}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Возведите \frac{1}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{6}+\frac{1}{144}$$

Прибавьте \frac{5}{6} к \frac{1}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{121}{144}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Упростите.

$$x+\frac{1}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{1}{12}=-\frac{11}{12}$$

Вычтите \frac{1}{12} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$