Решить 6x^2+7x+2=0

$$6 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

Найдите x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx+2. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=3 b=4$$

Перепишите 6x^{2}+7x+2 как \left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right).

$$\left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right)$$

Разложите 3x в первом и 2 в второй группе.

$$3x\left(2x+1\right)+2\left(2x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x+1=0 и 3x+2=0у.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, 7 вместо b и 2 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Прибавьте 49 к -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$x=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{-7±1}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±1}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Привести дробь \frac{-6}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±1}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из -7.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Привести дробь \frac{-8}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$6x^{2}+7x+2-2=-2$$

Если из 2 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}+7x=-2$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Привести дробь \frac{-2}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Деление \frac{7}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{7}{12}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Прибавьте -\frac{1}{3} к \frac{49}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Вычтите \frac{7}{12} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$