Решить 6x^2+15x-9=3

$$6 x ^ { 2 } + 15 x - 9 = 3$$

Найдите x

$$x=\frac{\sqrt{57}-5}{4}\approx 0,637458609$$

$$x=\frac{-\sqrt{57}-5}{4}\approx -3,137458609$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}+15x-9=3$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$6x^{2}+15x-9-3=3-3$$

Если из 3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}+15x-9-3=0$$

Вычтите 3 из -9.

$$6x^{2}+15x-12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, 15 вместо b и -12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Возведите 15 в квадрат.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 6\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-24\left(-12\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -12.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+288}}{2\times 6}$$

Прибавьте 225 к 288.

$$x=\frac{-15±\sqrt{513}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 513.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{57}}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{57}}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{-15±3\sqrt{57}}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -15 к 3\sqrt{57}.

$$x=\frac{3\sqrt{57}-15}{12}$$

Разделите -15+3\sqrt{57} на 12.

$$x=\frac{\sqrt{57}-5}{4}$$

Решите уравнение x=\frac{-15±3\sqrt{57}}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 3\sqrt{57} из -15.

$$x=\frac{-3\sqrt{57}-15}{12}$$

Разделите -15-3\sqrt{57} на 12.

$$x=\frac{-\sqrt{57}-5}{4}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{\sqrt{57}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{57}-5}{4}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+15x-9=3$$

Прибавьте 9 к обеим частям уравнения.

$$6x^{2}+15x-9-\left(-9\right)=3-\left(-9\right)$$

Если из -9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}+15x=3-\left(-9\right)$$

Вычтите -9 из 3.

$$6x^{2}+15x=12$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}+15x}{6}=\frac{12}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}+\frac{15}{6}x=\frac{12}{6}$$

Привести дробь \frac{15}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{12}{6}$$

Разделите 12 на 6.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=2$$

Деление \frac{5}{2}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{4}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{4} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{4} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=2+\frac{25}{16}$$

Прибавьте 2 к \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{57}{16}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{57}{16}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{16}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{57}}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{57}}{4}$$

Вычтите \frac{5}{4} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{\sqrt{57}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{57}-5}{4}$$