Решить 6r^2+29r-42

$$6 r ^ { 2 } + 29 r - 42$$

Разложить на множители

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Действия по решению

Разложите выражение на множители путем группировки. Сначала выражение необходимо переписать в следующем виде: 6r^{2}+ar+br-42. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=29 ab=6\left(-42\right)=-252$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -252.

$$-1,252 -2,126 -3,84 -4,63 -6,42 -7,36 -9,28 -12,21 -14,18$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+252=251 -2+126=124 -3+84=81 -4+63=59 -6+42=36 -7+36=29 -9+28=19 -12+21=9 -14+18=4$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 29.

$$a=-7 b=36$$

Перепишите 6r^{2}+29r-42 как \left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right).

$$\left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right)$$

Разложите r в первом и 6 в второй группе.

$$r\left(6r-7\right)+6\left(6r-7\right)$$

Вынесите за скобки общий член 6r-7, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$6r^{2}+29r-42=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$r=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Возведите 29 в квадрат.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-24\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -42.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841+1008}}{2\times 6}$$

Прибавьте 841 к 1008.

$$r=\frac{-29±\sqrt{1849}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 1849.

$$r=\frac{-29±43}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$r=\frac{-29±43}{12}$$

Решите уравнение r=\frac{-29±43}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -29 к 43.

$$r=\frac{14}{12}$$

Привести дробь \frac{14}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$r=\frac{7}{6}$$

Решите уравнение r=\frac{-29±43}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 43 из -29.

$$r=-\frac{72}{12}$$

Разделите -72 на 12.

$$r=-6$$

Разложите исходное выражение на множители с помощью ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Подставьте \frac{7}{6} вместо x_{1} и -6 вместо x_{2}.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r-\left(-6\right)\right)$$

Упростите все выражения типа p-\left(-q\right) до выражений типа p+q.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r+6\right)$$

Вычтите \frac{7}{6} из r. Для этого найдите общий знаменатель и разность числителей. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$6r^{2}+29r-42=6\times \frac{6r-7}{6}\left(r+6\right)$$

Сократите наибольший общий делитель 6 в 6 и 6.

$$6r^{2}+29r-42=\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Вычислить

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$