Решить 6x^2-5x-1=0

$$6 { x }^{ 2 } -5x-1=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

$$x=1$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx-1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-5 ab=6\left(-1\right)=-6$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -6.

$$1,-6 2,-3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -5.

$$a=-6 b=1$$

Перепишите 6x^{2}-5x-1 как \left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(6x^{2}-6x\right)+\left(x-1\right)$$

Вынесите за скобки 6x в 6x^{2}-6x.

$$6x\left(x-1\right)+x-1$$

Вынесите за скобки общий член x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-1\right)\left(6x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-1=0 и 6x+1=0у.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, -5 вместо b и -1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Возведите -5 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-1\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+24}}{2\times 6}$$

Прибавьте 25 к 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±7}{2\times 6}$$

Число, противоположное -5, равно 5.

$$x=\frac{5±7}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{5±7}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{5±7}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 5 к 7.

$$x=\frac{12}{12}$$

Разделите 12 на 12.

$$x=1$$

Решите уравнение x=\frac{5±7}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из 5.

$$x=-\frac{2}{12}$$

Привести дробь \frac{-2}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Уравнение решено.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-1=0$$

Прибавьте 1 к обеим частям уравнения.

$$6x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Если из -1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Вычтите -1 из 0.

$$6x^{2}-5x=1$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{1}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{1}{6}$$

Деление -\frac{5}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{5}{12}. Затем добавьте квадрат -\frac{5}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{6}+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{5}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Прибавьте \frac{1}{6} к \frac{25}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{49}{144}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Упростите.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{7}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{7}{12}$$

Прибавьте \frac{5}{12} к обеим частям уравнения.

$$x=1 x=-\frac{1}{6}$$