Решить 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Найдите x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx-5. Чтобы найти a и b, настройте систему для решения.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Так как ab отрицательный, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары, содержащие -30 продукта.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 7.

$$a=-3 b=10$$

Перепишите 6x^{2}+7x-5 как \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Вынесите за скобки 3x в первой и 5 во второй группе.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-1=0 и 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, 7 вместо b и -5 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Возведите 7 в квадрат.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Прибавьте 49 к 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±13}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -7 к 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Привести дробь \frac{6}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-7±13}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Привести дробь \frac{-20}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Прибавьте 5 к обеим частям уравнения.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Если из -5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Вычтите -5 из 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Разделите \frac{7}{6}, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится \frac{7}{12}. Затем добавьте квадрат \frac{7}{12} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Возведите \frac{7}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Прибавьте \frac{5}{6} к \frac{49}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Разложите x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Упростите.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Вычтите \frac{7}{12} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$