Решить 6x^2+5x+1=0

$$6 { x }^{ 2 } +5x+1=0$$

Найдите x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=5 ab=6\times 1=6$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 6.

$$1,6 2,3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+6=7 2+3=5$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 5.

$$a=2 b=3$$

Перепишите 6x^{2}+5x+1 как \left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(3x+1\right)$$

Вынесите за скобки 2x в 6x^{2}+2x.

$$2x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Вынесите за скобки общий член 3x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x+1=0 и 2x+1=0у.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, 5 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6}}{2\times 6}$$

Возведите 5 в квадрат.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 6}$$

Прибавьте 25 к -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{-5±1}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±1}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -5 к 1.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Привести дробь \frac{-4}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-5±1}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 1 из -5.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Привести дробь \frac{-6}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+5x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$6x^{2}+5x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}+5x=-1$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=-\frac{1}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=-\frac{1}{6}$$

Деление \frac{5}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{5}{12}. Затем добавьте квадрат \frac{5}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Возведите \frac{5}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=-\frac{1}{6}+\frac{25}{144}$$

Прибавьте -\frac{1}{6} к \frac{25}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{1}{144}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Упростите.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{1}{12}$$

Вычтите \frac{5}{12} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{1}{2}$$