Решить 6x^2+19x-7=0

$$6 { x }^{ 2 } +19x-7=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx-7. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=19 ab=6\left(-7\right)=-42$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 19.

$$a=-2 b=21$$

Перепишите 6x^{2}+19x-7 как \left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(21x-7\right)$$

Разложите 2x в первом и 7 в второй группе.

$$2x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x-1=0 и 2x+7=0у.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, 19 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Возведите 19 в квадрат.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-24\left(-7\right)}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на -7.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+168}}{2\times 6}$$

Прибавьте 361 к 168.

$$x=\frac{-19±\sqrt{529}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 529.

$$x=\frac{-19±23}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{-19±23}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{-19±23}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -19 к 23.

$$x=\frac{4}{12}$$

Привести дробь \frac{4}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-19±23}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 23 из -19.

$$x=-\frac{42}{12}$$

Привести дробь \frac{-42}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+19x-7=0$$

Прибавьте 7 к обеим частям уравнения.

$$6x^{2}+19x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Если из -7 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}+19x=-\left(-7\right)$$

Вычтите -7 из 0.

$$6x^{2}+19x=7$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}+19x}{6}=\frac{7}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x=\frac{7}{6}$$

Деление \frac{19}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{19}{12}. Затем добавьте квадрат \frac{19}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{7}{6}+\left(\frac{19}{12}\right)^{2}$$

Возведите \frac{19}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{7}{6}+\frac{361}{144}$$

Прибавьте \frac{7}{6} к \frac{361}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}=\frac{529}{144}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{19}{6}x+\frac{361}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}=\frac{529}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{144}}$$

Упростите.

$$x+\frac{19}{12}=\frac{23}{12} x+\frac{19}{12}=-\frac{23}{12}$$

Вычтите \frac{19}{12} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{2}$$