Решить 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Найдите x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 6x^{2}+ax+bx+3. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является положительным, a, а b являются положительными. Перечислите все такие пары целых 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=2 b=9$$

Перепишите 6x^{2}+11x+3 как \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Разложите 2x в первом и 3 в второй группе.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 3x+1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 3x+1=0 и 2x+3=0у.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 6 вместо a, 11 вместо b и 3 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Умножьте -4 на 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Умножьте -24 на 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Прибавьте 121 к -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Извлеките квадратный корень из 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Умножьте 2 на 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±7}{12} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Привести дробь \frac{-4}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±7}{12} при условии, что ± — минус. Вычтите 7 из -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Привести дробь \frac{-18}{12} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Вычтите 3 из обеих частей уравнения.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Если из 3 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Разделите обе части на 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Деление на 6 аннулирует операцию умножения на 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Привести дробь \frac{-3}{6} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Деление \frac{11}{6}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{11}{12}. Затем добавьте квадрат \frac{11}{12} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Возведите \frac{11}{12} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Прибавьте -\frac{1}{2} к \frac{121}{144}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Упростите.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Вычтите \frac{11}{12} из обеих частей уравнения.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$