Решить 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Найдите x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Способ разложения на множители путем группировки

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: 56x^{2}+ax+bx+1. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -30.

$$a=-28 b=-2$$

Перепишите 56x^{2}-30x+1 как \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Разложите 28x в первом и -1 в второй группе.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 2x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 2x-1=0 и 28x-1=0у.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 56 вместо a, -30 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Возведите -30 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Умножьте -4 на 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Прибавьте 900 к -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Извлеките квадратный корень из 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

Число, противоположное -30, равно 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Умножьте 2 на 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Решите уравнение x=\frac{30±26}{112} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 30 к 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Привести дробь \frac{56}{112} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{30±26}{112} при условии, что ± — минус. Вычтите 26 из 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Привести дробь \frac{4}{112} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Разделите обе части на 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Деление на 56 аннулирует операцию умножения на 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Привести дробь \frac{-30}{56} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Деление -\frac{15}{28}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{15}{56}. Затем добавьте квадрат -\frac{15}{56} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{15}{56} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Прибавьте -\frac{1}{56} к \frac{225}{3136}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Упростите.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Прибавьте \frac{15}{56} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$