Решить 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0,107142857+0,079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0,107142857-0,079859571i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 56 вместо a, -12 вместо b и 1 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Возведите -12 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

Умножьте -4 на 56.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

Прибавьте 144 к -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

Извлеките квадратный корень из -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Число, противоположное -12, равно 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Умножьте 2 на 56.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

Решите уравнение x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 12 к 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

Разделите 12+4i\sqrt{5} на 112.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

Решите уравнение x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} при условии, что ± — минус. Вычтите 4i\sqrt{5} из 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

Разделите 12-4i\sqrt{5} на 112.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

Если из 1 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$56x^{2}-12x=-1$$

Разделите обе части на 56.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Деление на 56 аннулирует операцию умножения на 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Привести дробь \frac{-12}{56} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 4.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

Деление -\frac{3}{14}, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{3}{28}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{28} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{28} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

Прибавьте -\frac{1}{56} к \frac{9}{784}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

Коэффициент x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

Прибавьте \frac{3}{28} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$