Решить 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Найдите x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Перемножьте 1+x и 1+x, чтобы получить \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Чтобы умножить 54 на 1+2x+x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Вычтите 1215 из обеих частей уравнения.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Вычтите 1215 из 54, чтобы получить -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 54 вместо a, 108 вместо b и -1161 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Возведите 108 в квадрат.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Умножьте -4 на 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Умножьте -216 на -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Прибавьте 11664 к 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Извлеките квадратный корень из 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Умножьте 2 на 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Решите уравнение x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -108 к 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Разделите -108+162\sqrt{10} на 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Решите уравнение x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} при условии, что ± — минус. Вычтите 162\sqrt{10} из -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Разделите -108-162\sqrt{10} на 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Перемножьте 1+x и 1+x, чтобы получить \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Чтобы умножить 54 на 1+2x+x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Вычтите 54 из обеих частей уравнения.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Вычтите 54 из 1215, чтобы получить 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Разделите обе части на 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Деление на 54 аннулирует операцию умножения на 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Разделите 108 на 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Привести дробь \frac{1161}{54} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Деление 2, коэффициент x термина, 2 для получения 1. Затем добавьте квадрат 1 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Возведите 1 в квадрат.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Прибавьте \frac{43}{2} к 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Коэффициент x^{2}+2x+1. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Упростите.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Вычтите 1 из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$