Решить 53x^2+5x-12<0

$$53 x ^ { 2 } + 5 x - 12 < 0$$

Решение для x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Чтобы решить неравенство, разложите левую часть на множители. Квадратный многочлен можно разложить с помощью преобразования ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), где x_{1} и x_{2} являются решениями квадратного уравнения ax^{2}+bx+c=0.

$$53x^{2}+5x-12=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замените в формуле корней квадратного уравнения a на 53, b на 5 и c на -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 53\left(-12\right)}}{2\times 53}$$

Выполните арифметические операции.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106}$$

Решение x=\frac{-5±\sqrt{2569}}{106} уравнений, когда ±-плюс и когда ± — минус.

$$x=\frac{\sqrt{2569}-5}{106} x=\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}$$

Перепишите неравенство, используя полученные решения.

$$53\left(x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}\right)<0$$

Чтобы произведение было отрицательным, x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} и x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} должны иметь противоположные знаки. Рассмотрите, когда x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} положительное и x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} отрицательно.

$$x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Это неверно для любого x.

$$x\in \emptyset$$

Рассмотрите, когда x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106} положительное и x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106} отрицательно.

$$x-\frac{-\sqrt{2569}-5}{106}>0 x-\frac{\sqrt{2569}-5}{106}<0$$

Решение, которое удовлетворяет обоим неравенствам: x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$

Окончательное решение — это объединение полученных решений.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{2569}-5}{106},\frac{\sqrt{2569}-5}{106}\right)$$