Решить 5-x^2+3x=12

$$5- { x }^{ 2 } +3x=12$$

Найдите x (комплексное решение)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}\approx 1.5-2.179449472i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}\approx 1.5+2.179449472i$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+3x+5-12=12-12$$

Если из 12 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-x^{2}+3x+5-12=0$$

Вычтите 12 из 5.

$$-x^{2}+3x-7=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 3 вместо b и -7 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 3 в квадрат.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-7\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на -7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 9 к -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -3 к i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{-2}$$

Разделите -3+i\sqrt{19} на -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$

Решите уравнение x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите i\sqrt{19} из -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{-2}$$

Разделите -3-i\sqrt{19} на -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Уравнение решено.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x+5=12$$

Вычтите 5 из обеих частей уравнения.

$$-x^{2}+3x+5-5=12-5$$

Если из 5 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$-x^{2}+3x=12-5$$

Вычтите 5 из 12.

$$-x^{2}+3x=7$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{7}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{7}{-1}$$

Разделите 3 на -1.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{-1}$$

Разделите 7 на -1.

$$x^{2}-3x=-7$$

Разделите -3, коэффициент члена x, на 2, в результате чего получится -\frac{3}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{3}{2} в обе части уравнения. Это действие сделает левую часть уравнения полным квадратом.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{3}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Прибавьте -7 к \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Разложите x^{2}-3x+\frac{9}{4} на множители. В общем случае, когда выражение x^{2}+bx+c является полным квадратом, его всегда можно разложить на множители следующим способом: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Прибавьте \frac{3}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=\frac{3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+3}{2}$$