Решить 5x-2y=1;3x+5y=13

$$5 x - 2 y = 1 ; 3 x + 5 y = 13$$

Найдите x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Действия с использованием подстановок

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$5x-2y=1$$

Прибавьте 2y к обеим частям уравнения.

$$5x=2y+1$$

Разделите обе части на 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+1\right)$$

Умножьте \frac{1}{5} на 2y+1.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}$$

Подставьте \frac{2y+1}{5} вместо x в другом уравнении 3x+5y=13.

$$3\left(\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}\right)+5y=13$$

Умножьте 3 на \frac{2y+1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{3}{5}+5y=13$$

Прибавьте \frac{6y}{5} к 5y.

$$\frac{31}{5}y+\frac{3}{5}=13$$

Вычтите \frac{3}{5} из обеих частей уравнения.

$$\frac{31}{5}y=\frac{62}{5}$$

Разделите обе стороны уравнения на \frac{31}{5}, что равносильно умножению обеих частей на обратную дробь.

$$y=2$$

Подставьте 2 вместо y в x=\frac{2}{5}y+\frac{1}{5}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{1}{5}$$

Умножьте \frac{2}{5} на 2.

$$x=\frac{4+1}{5}$$

Прибавьте \frac{1}{5} к \frac{4}{5}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=2$$

Действия с использованием матриц

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{3}{31}&\frac{5}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\13\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}+\frac{2}{31}\times 13\\-\frac{3}{31}+\frac{5}{31}\times 13\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=1,y=2$$

Действия с использованием исключения

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$5x-2y=1,3x+5y=13$$

Чтобы сделать 5x и 3x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 3 и все члены в обеих частях второго уравнения на 5.

$$3\times 5x+3\left(-2\right)y=3,5\times 3x+5\times 5y=5\times 13$$

Упростите.

$$15x-6y=3,15x+25y=65$$

Вычтите 15x+25y=65 из 15x-6y=3 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$15x-15x-6y-25y=3-65$$

Прибавьте 15x к -15x. Члены 15x и -15x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$-6y-25y=3-65$$

Прибавьте -6y к -25y.

$$-31y=3-65$$

Прибавьте 3 к -65.

$$-31y=-62$$

Разделите обе части на -31.

$$y=2$$

Подставьте 2 вместо y в 3x+5y=13. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$3x+5\times 2=13$$

Умножьте 5 на 2.

$$3x+10=13$$

Вычтите 10 из обеих частей уравнения.

$$3x=3$$

Разделите обе части на 3.

$$x=1$$

Система решена.

$$x=1,y=2$$